(a cura di Roberto Bigoni)
Come P. Odifreddi racconta nel n.435 di Le Scienze (edizione italiana di Scientific American), in un articolo che appare largamente ripreso da una pagina di mathpages, si attribuisce a Napoleone Bonaparte il seguente teorema:
Se sui lati di un triangolo qualunque si costruiscono tre triangoli equilateri esterni a quello dato e si congiungono i loro centri, si ottiene un triangolo equilatero.
(applet CabriJava)
Tra le numerose dimostrazioni disponibili in rete, la più diretta e la più adatta all'ambiente liceale italiano sembra la seguente, presentata nel sito cut-the-knot e leggermente adattata nella grafica.
Con riferimento alla figura, si noti innanzitutto che m è due terzi dell'altezza del triangolo equilatero di lato c e n è due terzi dell'altezza del triangolo equilatero di lato b:
Applicando il teorema del coseno al triangolo APR si ha
Applicando il teorema del coseno al triangolo ABC si ha
Rappresentando con S l'area del triangolo ABC si ha
Utilizzando le identità (2) e (3), dalla (1) si ottiene
L'identità (4) mostra che, dato il triangolo ABC, la misura del lato PR dipende solo dalle misure dei lati a, b, c del triangolo, cioè non dipende dall'angolo α. Questo è vero anche per i lati RQ e QP che quindi hanno identica misura e. Dunque il triangolo PQR è equilatero.
ultima revisione: 29/01/2012
